Posisi Matahari Algoritma Meeus

Posisi Matahari Algoritma Meeus

Sebagai kelanjutan dari tulisan sebelumnya tentang menghitung posisi bulan berdasarkan algoritma Meeus, pada kesempatan ini penulis akan menyajikan cara menghitung posisi matahari berdasarkan algoritma Meeus. Algoritma Meeus buat menentukan posisi matahari ini sebenarnya merupakan reduksi dari algoritma VSOP 87 nan lengkap. Dari ribuan suku koreksi dalam algoritma VSOP 87 buat menentukan posisi matahari (bujur ekliptika, lintang ekliptika dan jeda bumi-matahari), maka nan diperhitungkan ialah sekitar ratusan suku-suku nan besar dan krusial dalam algoritma Meeus ini. Adapun suku-suku lainnya nan kecil-kecil tak ikut diperhitungkan.

Dalam tulisan sebelumnya tentang Menghitung Posisi Matahari, penulis telah menyajikan cara menghitung bujur ekliptika dan jeda bumi-matahari secara ringkas. Arsip MS Excel buat menghitung posisi matahari tersebut bisa diunduh di

Untuk keperluan praktis, metode tersebut sudah cukup akurat, walaupun oleh J. Meeus dikatakan sebagai low accuracy (akurasi rendah). Dalam tulisan tersebut, buat menghitung bujur ekliptika matahari, hanya dihitung enam buah suku koreksi bujur ekliptika matahari. Bandingkan dengan algoritma Meeus nan berisi sekitar 129 suku koreksi. Perbandingan lainnya, dalam tulisan tersebut, lintang ekliptika matahari dianggap sama dengan nol, sementara menurut algoritma Meeus, nilainya tak selalu persis sama dengan nol. Karena lintang ekliptika matahari tak pernah melebihi satu detik busur (0,00003 derajat) sebab itu dalam tulisan tersebut diasumsikan sama dengan nol. Untuk menghitung lintang ekliptika matahari dalam algoritma Meeus, diperlukan sekitar 7 suku koreksi. Sementara itu dalam tulisan tersebut, jeda bumi-matahari dihitung dengan menggunakan sekitar 6 suku koreksi, sedangkan pada algoritma Meeus sekitar 59 suku koreksi.

File MS Excel buat menghitung posisi matahari (sekaligus bulan) berdasarkan algoritma Meeus bisa diunduh di

Algoritma Meeus

Untuk menentukan bujur ekliptika dan lintang ekliptika matahari nan diukur menurut titik pusat bumi (geosentrik), digunakan perhitungan tak langsung. Untuk menentukan bujur ekliptika matahari nan diukur menurut pusat bumi, terlebih dahulu dihitung bujur ekliptika bumi nan diukur menurut pusat matahari. Posisi bumi diukur menurut matahari merupakan versus (opposite) dari posisi matahari menurut bumi. Setelah bujur ekliptika bumi (L) diperoleh, maka bujur ekliptika matahari (Theta) = L + 180 derajat. Penambahan angka 180 derajat ini sebenarnya merupakan manifestasi dari posisi bumi menurut matahari nan menjadi versus dari posisi matahari menurut bumi.

Selanjutnya, juga dihitung terlebih dahulu lintang ekliptika bumi menurut pusat matahari (B). Jika B telah diperoleh, maka lintang matahari menurut pusat bumi (Beta) sama dengan minus B. Hal ini bisa dengan mudah dipahami. Lintang berkaitan dengan posisi di atas atau di bawah bidang ekliptika. Jika bumi ada di atas matahari, maka tentu saja matahari ada di bawah bumi.

Terakhir, jeda matahari dari bumi tentu saja sama dengan jeda bumi dari matahari. Jadi, ketika jeda bumi dihitung menurut pusat matahari, maka hal itu sama dengan menghitung jeda matahari menurut pusat bumi.

Misalnya kita ingin menentukan posisi matahari pada tanggal dan waktu tertentu, maka caranya ialah sebagai berikut.

Tanggal dan waktu tersebut seperti biasa diubah menjadi Julian Day (JD) bersatuan UT (atau GMT). Selanjutnya Julian Day Ephemeris (JDE) bersatuan TD (Dynamical Time) diperoleh dengan cara menambahkan JD dengan Delta_T, atau JDE = JD + Delta_T. Kemudian, juga seperti biasa, dari nilai JDE ini diperoleh nilai T = (JDE – 2451545)/36525. Dari nilai T ini, maka tau = T/10. Jadi, buat tanggal dan waktu tertentu, maka T dan tau juga tertentu.

Koreksi bujur ekliptika

Seperti telah disajikan di atas, ada sekitar 129 suku koreksi bujur ekliptika. Seluruh suku ini dibagi menjadi 6 bagian, yaitu L0 (64 suku), L1 (34 suku), L2 (20 suku), L3 (7 suku), L4 (3 suku) dan L5 (1 suku). Setiap suku memiliki bentuk

A*COS(B + C*tau).

Satuan A, B dan C ialah dalam radian (1 radian = 57,2957795 derajat). Untuk L0, suku dengan A terbesar ialah A = 175347046 dimana nilai B dan C berturut-turut ialah 0 dan 0. Jadi suku terbesar ini bentuknya ialah 175347046*COS(0 + 0*tau) = 17534706. Selanjutnya, suku dengan A terbesar kedua ialah 3341656 dimana B = 4,6692568 dan C = 6283,07585 sehingga suku ini berbentuk 3341656*COS(4,6692568 + 6283,07585*tau). Dan begitu seterusnya, hingga buat L0, suku ke 64 berbentuk 25*COS(3,16 + 4690,48*tau). Akhirnya, 64 suku dalam L0 tersebut dijumlahkan, nan hasilnya ialah Total_L0.

Begitu pula buat L1 nan berisi 34 suku, suku dengan A terbesar berbentuk 628331966747, berikutnya 206059*COS(2,678235 + 6283,07585*tau) dan seterusnya, hingga suku ke 34 berbentuk 6*COS(4,67 + 4690,48*tau). Akhirnya 34 suku dalam L1 dijumlahkan, hasilnya ialah Total_L1. Demikian seterusnya buat L2, L3, L4 dan L5 nan pada akhirnya menghasilkan Total_L2, Total_L3, Total_L4 dan Total_L5.

Akhirnya koreksi bujur ekliptika L = (Total_L0 + Total_L1*tau + Total_L2*tau^2 + Total_L3*tau^3 + Total_L4*tau^4 + Total_L5*tau^5)/100000000.

Dalam rumus di atas, ada angka pembagi 100000000 (seratus juta), sebab aslinya seluruh nilai A bersatuan 0,00000001 radian. Hanya saja buat mempermudah penulisan, pertama semua nilai A dikalikan dengan 100 juta, baru terakhir dibagi dengan 100 juta. Nilai L nan masih dalam radian tersebut lalu dikonversi menjadi derajat.

Setelah diperoleh nilai L nan tak lain ialah bujur ekliptika bumi diukur dari pusat matahari, maka bujur ekliptika matahari diukur dari pusat bumi (Theta) = L + 180 derajat. Nilai Theta ini masih harus dikoreksi oleh Delta Theta (akibat disparitas kecil antara koordinat FK5 dan ekliptika geosentrik) nan memberikan hasil Theta terkoreksi. Theta terkoreksi ini masih harus ditambahkan dengan koreksi nutasi (osilasi sumbu rotasi bumi) dan koreksi aberasi (pergeseran kecil posisi benda langit sebab faktor kecepatan cahaya). Dengan menjumlahkan Theta terkoreksi dengan dua koreksi tersebut, diperoleh bujur ekliptika nampak matahari dilihat dari pusat bumi (apparent geocentric longitude).

Koreksi Lintang ekliptika

Ada 7 buah suku koreksi lintang ekliptika, nan dikelompokkan ke dalam B0 (5 suku) dan B1 (2 suku). Setiap suku juga memiliki bentuk A*COS(B + C*tau). Satuan A, B dan C ialah radian. Untuk B0, kelima suku tersebut dijumlahkan. Secara lengkap total suku B0 ditulis sebagai berikut.

Total_B0 = 280*COS(3.199 + 84334.662*tau) + 102*COS(5.422 + 5507.553*tau) + 80*COS(3.88 + 5223.69*tau) + 44*COS(3.7 + 2352.87*tau) + 32*COS(4 + 1577.34*tau).

Untuk dua suku B1, Total_B1 = 9*COS(3.9 + 5507.55*tau) + 6*COS(1.73 + 5223.69*tau).

Akhirnya, koreksi lintang ekliptika B = (Total_B0 + Total_B1*tau)/100000000.

Dalam rumus di atas, ada angka pembagi 100000000 (seratus juta), sebab aslinya seluruh nilai A bersatuan 0,00000001 radian. Hanya saja buat mempermudah penulisan, pertama semua nilai A dikalikan dengan 100 juta, baru terakhir dibagi dengan 100 juta. Nilai B nan masih dalam radian tersebut lalu dikonversi menjadi derajat.

Dari nilai B tersebut nan merupakan lintang ekliptika bumi dilihat dari matahari, maka lintang ekliptika matahari dilihat dari pusat bumi ialah Beta = – B. Nilai Beta ini harus dikoreksi lagi dengan Delta Beta, sehingga akhirnya, Beta terkoreksi = Beta + Delta Beta.

Koreksi Jeda Bumi-Matahari

Dalam algoritma Meeus ini, ada sekitar 59 suku koreksi jeda bumi-matahari, nan dikelompokkan ke dalam R0 (40 suku), R1 (10 suku), R2 (6 suku), R3 (2 suku) dan R4 (1 suku). Seluruh suku juga berbentuk A*COS(B + C*tau). Cara perhitungan sama seperti pada koreksi bujur ekliptika.

Akhirnya, jeda pusat bumi – pusat matahari = (Total_R0 + Total_R1*tau + Total_R2*tau^2 + Total_R3*tau^3 + Total_R4*tau^4)/100000000.

Jarak bumi-matahari ini dinyatakan dalam satuan AU (astronomical unit). 1 AU = 149598000 km, nan merupakan jeda rata-rata bumi-matahari.

Koordinat Ekuator geosentrik dan horisontal

Jika bujur dan lintang ekliptika matahari sudah dihitung, maka selanjutnya right ascension dan deklinasi matahari dalam koordinat ekuator geosentrik juga bisa dihitung. Dari sini, selanjutnya bisa dihitung posisi matahari dalam koordinat horisontal, yaitu azimuth dan altitude (ketinggian dari ufuk).

Contoh soal: Tentukan posisi matahari secara geosentrik pada tanggal 17 Nopember 2009 pukul 17:49:43 WIB. Tentukan pula azimuth dan altitude matahari "geosentrik" di Jakarta (106:51 BT 6:10 LS) pada waktu tersebut.

Jawab:

  • Pukul 17:49:43 WIB = pukul 10:49:43 UT.
  • Julian Day (JD) buat 17 Nopember 2009 pukul 10:49:43 UT = 2455152,951192.
  • Delta_T buat waktu tersebut bisa diperkirakan sama dengan 66,6 detik = 0,000771 hari.
  • Julian Day Ephemeris (JDE) = JD + Delta_T = 2455152,951964.
  • Nilai T = (JDE – 2451545)/36525 = 0,098780341233.
  • Nilai tau = T/10 = 0,009878034123.
  • Dari nilai tau tersebut, seluruh suku koreksi bujur, lintang dan jeda bisa dihitung sebagai berikut.
  • Koreksi bujur ekliptika L = 63,795722 radian = 3655,225620 derajat = 55,225620 derajat.
  • Theta = 180 derajat + L = 235,225620 derajat.
  • Dengan memperhitungkan faktor Delta Theta = -0,000025 derajat, maka Theta terkoreksi = 235,225595 derajat.
  • Selanjutnya, dengan memperhitungkan koreksi nutasi (delta Psi) sebesar 0,003910 derajat dan koreksi aberasi sebesar -0,005757 derajat, akhirnya diperoleh bujur ekliptika nampak matahari (Lambda) = 235,223748 derajat = 235:13:25 derajat (235 derajat 13 menit busur 25 detik busur).
  • Koreksi lintang ekliptika (B) bisa dihitung sebesar = 0,376 detik busur.
  • Karena itu Beta = – B = – 0,376 detik busur.
  • Dengan memperhitungkan delta Beta sebesar 0,003 detik busur, maka lintang ekliptika matahari sama dengan -0,373 detik busur.
  • Untuk jeda bumi-matahari, koreksi seluruh sukunya memberikan hasil 0,9887043544 AU = 147908194 km.
  • Selanjutnya, nilai kemiringan sumbu rotasi bumi terhadap sumbu bidang ekliptika bisa dihitung = 23,438986 derajat.
  • Dengan menggunakan transformasi koordinat dari ekliptika geosentrik ke ekuator geosentrik, diperoleh right ascension (Alpha) = 232,879490 derajat = pukul 15:31:31, serta deklinasi matahari = -19,070184 = minus 19:04:13 derajat.
  • Singkatnya, dari Alpha dan LST (Local Sidereal Time) bisa dihitung hour angle (HA) sebesar 93,031476 derajat.
  • Akhirnya, dengan menggunakan transformasi koordinat dari ekuator geosentrik ke horisontal "geosentrik", diperoleh azimuth matahari menurut pengamat di jakarta sebesar 250,716665 derajat = 250:43:00 derajat, dan altitude (ketinggian) matahari dari ufuk sebesar -0,836305 derajat = minus 0:50:11 derajat.
  • Sebagai tambahan, bisa dihitung pula sudut jari-jari matahari sebesar 0,269609 derajat = 0:16:11 derajat, serta sudut paralaks matahari sebesar 0,002471 derajat = 0:00:09 detik busur.

Berikut ini kompendium hasil perhitungan di atas dengan menggunakan algoritma Meeus:

  • Bujur ekliptika nampak matahari (Lambda) = 235:13:25 derajat.
  • Lintang ekliptika matahari (Beta) = -0,37 detik busur.
  • Jarak bumi-matahari = 147908194 km.
  • Right Ascension matahari (Alpha) = pukul 15:31:31.
  • Deklinasi matahari (Delta) = minus 19:04:13 derajat.
  • Azimuth "geosentrik" matahari di jakarta = 250:43:00 derajat.
  • Ketinggian sejati (True Altitude) "geosentrik" di jakarta = minus 0:50:11 derajat.

Posisi matahari di atas bisa diperoleh dengan cara mengisi angka-angka berikut pada arsip MS Excel (Posisi-Bulan-Matahari-Algoritma-Meeus.xls): Lintang lokasi S 6:10:0, Bujur lokasi E 106:51:0, Zona waktu lokal 7 jam, Tanggal 17 Bulan 11 Tahun 2009 Jam 17 Menit 49 Detik 43.

Beberapa Catatan

Pertama, hasil perhitungan di atas menggunakan algoritma Meeus nan sesungguhnya merupakan reduksi dari algoritma VSOP87 nan lengkap. Perhitungan menurut algoritma VSOP 87 itu sendiri buat contoh soal di atas memberikan hasil nan sama dengan di atas, kecuali pada jeda bumi-matahari sebesar 147908036 km. Berarti buat kasus ini, selisih jeda bumi-matahari menurut Meeus dengan VSOP87 ialah sekitar 158 km. Disparitas ini hanya sekitar seper satu juta AU, serta jauh lebih kecil daripada diameter bumi itu sendiri (sekitar 12742 km). Kendati bidang ekliptika didefinisikan sebagai bidang orbit bumi mengitari matahari, tetapi lintang ekliptika matahari tidaklah tepat sama dengan nol. Hasil di atas ialah -0,37 detik busur atau sekitar 0,0001 derajat sehingga sering dianggap sama dengan nol. Lintang ekliptika matahari nan tak selalu sama dengan nol ini disebabkan oleh hubungan matahari dengan planet-planet lain di dalam sistem tata surya.

Kedua, hasil perhitungan posisi matahari dengan "low accuracy" memberikan hasil sebagai berikut

  • Bujur ekliptika nampak matahari (Lambda) = 235:13:31 derajat.
  • Lintang ekliptika matahari (Beta) selalu dianggap = 0 derajat.
  • Jarak bumi-matahari = 147899437 km.
  • Right Ascension matahari (Alpha) = pukul 15:31:31.
  • Deklinasi matahari (Delta) = minus 19:04:14 derajat.
  • Azimuth "geosentrik" matahari di jakarta = 250:43:01 derajat.
  • Ketinggian sejati (True Altitude) "geosentrik" di jakarta = minus 0:49:53 derajat.

Jika hasil "low accuracy" dibandingkan dengan algoritma Meeus, maka buat bujur ekliptika berbeda sekitar 6 detik, Alpha tepat sama, serta deklinasi hanya berbeda 1 detik busur. Azimuth hanya berbeda 1 detik busur, sedangkan altitude berbeda sampai sebesar 18 detik busur. Adapun jeda bumi-matahari berbeda sekitar 8700 km (0,00006 AU), nan masih lebih kecil daripada diameter bumi.

Ketiga, Hasil perhitungan menggunakan algoritma Meeus di atas ialah berdasarkan koordinat geosentrik, artinya dilihat dari pusat bumi. Karena itu jika digunakan koordinat toposentrik (dilihat dari permukaan bumi), maka akan terdapat disparitas kecil dibandingkan dengan hasil di atas. Disparitas kecil ini disebabkan oleh faktor paralaks benda langit (pergeseran posisi benda langit sebab disparitas loka pengamatan di bumi). Untuk matahari, telah dihitung di atas, bahwa sudut paralaks matahari ialah 00:00:09 derajat atau 9 detik busur. Angka ini nisbi cukup kecil. Menurut pengamat di Jakarta, ketinggian matahari "geosentrik" menggunakan algoritma Meeus di atas ialah minus -00:50:11 derajat. Jika digunakan toposentrik nan memperhitungkan faktor paralaks, ketinggian matahari di Jakarta menjadi minus -00:50:20 derajat, atau 9 detik busur lebih dalam dibandingkan dengan menurut "geosentrik". Insya Allah pada kesempatan lain, penulis akan membahas posisi benda langit menurut koordinat toposentrik.

Keempat, pada hasil perhitungan Meeus di atas, ternyata berlaku hubungan: ketinggian matahari (minus 00:50:11) = – 00:34:00 – sudut jari-jari matahari (00:16:11 derajat). Interaksi ini berlaku saat matahari terbit atau terbenam. Untuk kasus ini, nan terjadi ialah matahari terbenam. Ini berarti, pada tanggal 17 Nopember 2009 di Jakarta, matahari terbenam pada pukul 17:49:43 WIB.

Semoga bermanfaat.

DR. Rinto Anugraha (Email: rinto74@yahoo.com)

***

Jean Meeus ialah astronom dan matematikawan kelahiran Belgia tahun 1928. Dia belajar matematika di Universitas Leuven, Belgia, dan lulus tahun 1953. Dia tertarik pada astronomi bola dan mekanika benda langit. Jean Meeus menulis banyak buku matematika astronomi, seperti Canon of Solar Eclipses, Elements of Solar Eclipses 1951-2200, Canon of Lunar Eclipses, Astronomical Formulae for Calculators, Astronomical Algorithms, Transits, Astronomical Tables of the Sun, Moon and Planets, Mathematical Astronomy Morsels. Atas jasanya dalam bidang astronomi, sebuah asteriod nan ditemukan diberi nama asteroid 2213 Meeus.

Peradaban

advertisements

Abu Haidar 2018 - Contact - Privacy Policy